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28.5.13

29/05 - Newton Marques Peron

MATRIZES NÃO-DETERMINÍSTICAS PARA LÓGICA MODAL

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Em 1914, Lewis propôs a hierarquia S1-S5, o que é geralmente estipulado como o primeiro trabalho em lógica modal formal. Embora Lewis tenha proposto algumas matrizes multi-valoradas para mostrar a independência de seus axiomas, em 1940 Dugundji provou que nenhum sistema entre S1 e S5 pode ser caracterizado por matrizes finitas. 



O resultado de Dugundji forçou de um lado a abordagem algébrica de McKinsey e Tarski e de outro lado o desenvolvimento da semântica relacional de Kripke. O sucesso dessa última ofuscou a semântica algébrica e abordagens ainda mais heterodoxas, como as matrizes não-determinísticas - ou Nmatrizes - de Kearns de 4 valores para os sistemas T, S4 e S5.



Antes dos primeiros trabalhos de Kripke, Lemmon havia mostrado que toda a hierarquia de Lewis podia ser formalizada em termos do operador "necessário". Mudando os operadores primitivos, Lemmon propôs outras duas hierarquias: D1-D5 e E1-E5. Ele também apresentou um sistema mais fraco que S1, a saber, S0.5.



Se substituirmos os axiomas (T) por (D) nos sistemas T e E2 nós obtemos os sistemas D e D2,  respectivamente. Seja D0.5 o sistema obtido substituindo também (T) por (D) em S0.5. Veremos que D, D2 e D0.5 são corretos e completos com relação à semântica de Nmatrizes de 6 valores.



Embora esses sistemas podem ser caracterizados por Nmatrizes de 4 e 6 valores, a noção de nível de valoração é também necessária. Ivlev explorou a axiomática de Nmatrizes de 4 valores sem essa maquinaria. Em particular, Sa+ tem as mesmas Nmatrizes de 4-valores de Kearns para T sem os níveis de valoração. Seja Dm o sistema obtido substituindo T por D em Sa+. Veremos que Dm é a contraparte axiomática das Nmatrizes de 6 valores sem níveis de valoração e que, eliminando os dois valores adicionais, obtemos exatamente as Nmatrizes de Kearns para T. 

19.5.13

22/05 - Tony Marmo


Crispness, Consistency, Necessity...

Sylvain Bromberger has proposed– in more complicate manner than it can be spelt out herein– that in order to understand rational thinking one should firstly consider how questions are selected, namely what makes them distinctive to be admissible as objects of our explanation. The distinctiveness of the questions is arguably based on cognitive constraints rather than on the nature of the subjects. If this is correct, the discovery of the logic operators, regardless of the different they belong to, traces its roots not to the subjects they may apply but to a pre-existent rationality. Thus, for instance, the difference of a crisp concept and fuzzy one is not rooted on the objects one examines, which could, by their very nature, be described fuzzily or crisply, but on the natural way the human mind deals with different objects.
Here we propose a debate on whether the different logic and philosophical notions of crispness and consistency of objects should be treated as equivalent, inasmuch as one can select roughly the same cluster of questions. Maybe crispness is more suitable to explain consistency than necessity.

Observação: O seminário será apresentado em português, se não houver convidado estrangeiro presente. 

5.5.13

08/05 - Henrique Almeida


O Teorema de Frege e a Teoria Neo-Fregiana da Aritmética

Teorema de Frege estabelece que (i) os símbolos primitivos da Aritmética de Segunda Ordem (AP2) podem ser definidos na teoria de segunda ordem cujo único axioma próprio é o Princípio de Hume (PH), denominadaAritmética de Frege (AF); e que (ii) as traduções correspondentes dos axiomas de AP2 podem ser derivadas nessa teoria.

Esse resultado foi informalmente apresentado por Frege no seu Die Grundlagen der Arithmetik (1984), §§70-83, onde ele formula definições dos conceitos aritméticos elementares em termos do operador ‘o número de ...s’, introduzido pelo Princípio de Hume, e fornece um esboço de como os axiomas de Dedekind-Peano podem ser provados a partir desse princípio sem fazer uso Axioma V. Embora já estivesse presente no Grundlagen, o Teorema de Frege somente foi explicitamente reconhecido no final do século passado: em 1983, Crispin Wright tentou reproduzir sem sucesso a derivação do paradoxo de Russell em AF e apresentou uma exposição formal detalhada das derivações dos axiomas de AP2 nessa teoria, e, em 1987,  Boolos provou a consistência da Aritmética de Frege em relação à consistência da Aritmética de Segunda Ordem.

Além de investigações formais, a redescoberta do Teorema de Frege motivou o surgimento de uma proposta de reabilitação do logicismo aritmético fregiano, na qual Bob Hale e Crispin Wright reivindicam que, para além de um resultado meramente técnico, o Teorema de Frege possui um significado filosófico fundamental para a explicação de nosso conhecimento dos axiomas e teoremas da aritmética.

Neste seminário, iremos apresentar, em termos gerais, o Teorema de Frege e as principais teses do neo-logicismo fregiano de Hale e Wright, e expor, de maneira um pouco mais detalhada, a prova da consistência da Aritmética de Frege em relação à Aritmética de Segunda Ordem formulada por Boolos.