08/05 - Henrique Almeida

O Teorema de Frege e a Teoria Neo-Fregiana da Aritmética

O Teorema de Frege estabelece que (i) os símbolos primitivos da Aritmética de Segunda Ordem (AP₂) podem ser definidos na teoria de segunda ordem cujo único axioma próprio é o Princípio de Hume (PH), denominadaAritmética de Frege (AF); e que (ii) as traduções correspondentes dos axiomas de AP₂ podem ser derivadas nessa teoria.

Esse resultado foi informalmente apresentado por Frege no seu Die Grundlagen der Arithmetik (1984), §§70-83, onde ele formula definições dos conceitos aritméticos elementares em termos do operador ‘o número de ...s’, introduzido pelo Princípio de Hume, e fornece um esboço de como os axiomas de Dedekind-Peano podem ser provados a partir desse princípio sem fazer uso Axioma V. Embora já estivesse presente no Grundlagen, o Teorema de Frege somente foi explicitamente reconhecido no final do século passado: em 1983, Crispin Wright tentou reproduzir sem sucesso a derivação do paradoxo de Russell em AF e apresentou uma exposição formal detalhada das derivações dos axiomas de AP₂ nessa teoria, e, em 1987,  Boolos provou a consistência da Aritmética de Frege em relação à consistência da Aritmética de Segunda Ordem.

Além de investigações formais, a redescoberta do Teorema de Frege motivou o surgimento de uma proposta de reabilitação do logicismo aritmético fregiano, na qual Bob Hale e Crispin Wright reivindicam que, para além de um resultado meramente técnico, o Teorema de Frege possui um significado filosófico fundamental para a explicação de nosso conhecimento dos axiomas e teoremas da aritmética.

Neste seminário, iremos apresentar, em termos gerais, o Teorema de Frege e as principais teses do neo-logicismo fregiano de Hale e Wright, e expor, de maneira um pouco mais detalhada, a prova da consistência da Aritmética de Frege em relação à Aritmética de Segunda Ordem formulada por Boolos.